9 класс
Гоночный автомобиль (болид) преодолевает контрольный прямолинейный участок трассы со средней скоростью \(v_{ср}\), причём на всём этом участке он движется в одну и ту же сторону равноускоренно. Вычислите максимально и минимально возможные скорости болида (\(v_{\max}\) и \(v_{\min}\), соответственно) в середине контрольного участка трассы.
Экспериментатор Глюк бросает шарик от пинг-понга с балкона 17 этажа вертикально вверх со скоростью \(v_0\). При полёте на шарик действует сила сопротивления, прямо пропорциональная скорости. Перед падением на землю шарик двигался с постоянной скоростью \(v_2\). Найдите скорость шарика \(v_{\max}\), при которой его кинетическая энергия меняется быстрее всего в процессе движения.
Водолазный колокол в форме цилиндра без дна, частично заполненный воздухом, находится под водой. Чтобы колокол не всплывал, его прикрепили тросом ко дну водоёма. На верёвке к колоколу привязан груз, находящийся в воде (см. рис). Площадь горизонтального сечения колокола \(S = 4\ м^2\), объём воздуха в нём \(V = 8\ м^3\) при давлении \(p = 1,5\cdot10^5\ Па\). Когда груз в колоколе поднимают над уровнём воды, давление возрастает на \(\Delta p = 250\ Па\), при этом трос остаётся натянутым. Найдите изменение натяжения троса и верёвки.
Плотность воды \(\rho = 10^3\ кг/м^3\), ускорение свободного падения \(g=10\ м/с^2\).
Воздух в колоколе подчиняется закону Бойля-Мариотта: \(pV={\rm const}\), где \(p\) — давление, \(V\) — объём воздуха в колоколе.
Через тонкое отверстие, проходящее вдоль вертикальной оси цилиндрической сосульки, продета нить, на конце которой закреплен шарик из материала с очень высоким значением теплопроводности. В начале эксперимента шарик нагрет до некоторой температуры \(t_1\), а температура сосульки равна температуре окружающего воздуха \(t_0=0{}^{\circ}{\rm C}\). Из-за таяния льда сосулька опускается вниз (см. рис), а талая вода вытекает в виде капель, при температуре \(t_0\). При этом за шариком остается цилиндрический канал площадью \(S = 2~см^2\).
- Найдите начальную температуру \(t\) шарика, если в процессе эксперимента сосулька перестала опускаться, когда шарик проплавил канал глубиной \(H = 10~см\).
- Определите скорость \(v_0\) сосульки на начальной стадии эксперимента, если в момент времени, когда она опустилась на две трети глубины \(H\), её скорость равнялась \(v_2 = 0,1~мм/с\).
Считайте мощность теплопередачи пропорциональной разности температур шарика и льда, и что вся она идёт на плавление льда. Теплоёмкость шарика \(C = 59,4~Дж/{}^{\circ}{\rm C}\). Удельная теплота плавления льда \(\lambda = 330~кДж/(кг\cdot{}^{\circ}{\rm C})\). Плотность льда \(\rho = 900~кг/м^3\).
Экспериментатор Глюк сконструировал источник тока с регулируемым на выходе напряжением. В прибор он встроил миникомпьютер, показывающий протекший через источник заряд и среднюю силу тока (отношение всего протекшего заряда ко времени работы источника). Глюк присоединил к источнику резистор и, включив установку, начал регулировать напряжение. В результате ему удалось снять зависимость средней силы тока через резистор от времени (см. рис). График на листе А4 должен быть выдан вам вместе с условием. В процессе эксперимента компьютер дал сбой, и зависимость протекшего заряда от времени оказалась утерянной.
- Восстановите зависимость протекшего через источник заряда от времени \(q(t)\) и постройте на миллиметровой бумаге её график;
- Определите сопротивление \(R\) резистора, если известно, что в точке \(A\) на нем выделялась мощность \(N_{A} = 0,16\ Вт\);
- Определите максимальную мощность, выделявшуюся на резисторе во время эксперимента.
10 класс
Игрушечная катапульта может стрелять сразу двумя шариками, выпуская их с одинаковыми по модулю начальными скоростями \(v_0\), направленными под разными углами к горизонту. Угол, под которым запускается один из шариков, можно менять как угодно. Конструкция катапульты такова, что после выстрела с горизонтальной плоскости оба шарика попадают в одну и ту же точку этой плоскости. После большого числа испытаний выяснилось, что максимальное из возможных расстояний между шариками в то время, пока они оба находились в воздухе, достигало \(L_{\max}=19\ м\).
Определите начальную скорость \(v_0\) шариков. Примите \(g = 10\ м/с^2\).
Лёгкий провод намотан на цилиндрическую катушку, которая надета на горизонтальный стержень. Для того, чтобы катушка равномерно вращалась на стержне, необходимо тянуть за конец провода вертикально вниз с силой \(F_1\) (см. рис) или тянуть горизонтально, вдоль касательной к нижнему краю катушки, с силой \(F_2\). Провод потянули вертикально вниз с постоянной силой \(F_1\) и оказалось, что в установивишемся режиме провод вытягивается с постоянной скоростью. Если же потянуть за провод горизонтально вдоль касательной к нижнему краю катушки с постоянной силой \(F_2\), то в уснановвшемся режиме скорость вытягивания провода также будет постоянной. Какова масса \(m\) катушки?
При охлаждении одного моля гелия от начальной температуры \(T_0\) до некоторой конечной температуры \(T_x\) в процессе с теплоемкостью \(C\), прямо пропорциональной температуре \(T\), газ совершил работу, равную нулю. В самом начале процесса охлаждения давление газа изменялось прямо пропорционально его объёму. Найдите величину положительной работы газа в данном процессе и отношение \(T_x/T_0\).
Стабилизированный источник тока способен выдавать постоянный ток \(I_0\) независимо от подключённой к нему нагрузки. Источник включён в цепь, показанную на рисунке (см. рис). Все элементы цепи можно считать идеальными, их параметры указаны на рисунке. До замыкания ключа конденсатор не был заряжен. В некоторый момент времени ключ замкнули. Какое количество теплоты \(Q\) выделилось на резисторе \(R\) после замыкания ключа?
Две материальные точки с массами \(m\) и \(M\) и одинаковыми положительными зарядами \(q\) находятся на расстоянии \(l\) друг от друга в однородном электрическом поле с напряжённостью \(E\), направленном от \(m\) к \(M\) (см. рис). В начальный момент скорости точек равны нулю. Найдите максимальное расстояние между точками при их дальнейшем движении. Считайте, что точки всё время движутся вдоль одной прямой и масса \(M>m\).
11 класс
Тонкую лёгкую пружину, растянутую на некоторую величину \(\Delta l_1\), закрепили на гладком горизонтальном столе в точках \(A\) и \(B\). Отношение периодов малых поперечных и продольных (см. рис) колебаний небольшого грузика, расположенного посередине пружины, равно \(n_1=4\). После того как деформацию пружины увеличили на \(\Delta x=3,5 см\), отношение периодов стало равно \(n_2=3\). Найдите длину нерастянутой пружины \(l_0\), а также значение деформации \(\Delta l_1\) в первом и деформации \(\Delta l_2\) во втором случаях. Считайте, что пружина в условиях опыта подчиняется закону Гука.
Температура плавления массивного образца олова \(t_0 = 232\,{}^{\circ}{\rm C}\). Температура плавления мельчайших оловянных шариков диаметром \(d = 20~нм\) оказывается на 25 градусов ниже и равна \(t_d = 207\,{}^{\circ}{\rm C}\). Это так называемый размерный эффект, причём экспериментально установлено, что температура плавления зависит не только от размеров, но и от формы образца. При какой температуре будет плавиться оловянная фольга толщиной \(h = d\)? Считайте, что атомы олова в приповерхностном слое толщиной в 2-3 межатомных расстояния обладают некоторой избыточной энергией по сравнению с атомами в объёме, а теплота плавления \(\lambda\) в пересчёте на один атом пропорциональна средней энергии связи \(U\) атомов в веществе, которая, в свою очередь, пропорциональна абсолютной температуре \(T\) фазового перехода (плавления): \(\lambda\sim U\sim T\). Молярная масса олова \(\mu = 119~г/моль\). Плотность олова \(\rho = 7,31~г/см^3\).
В архиве лорда Кельвина нашли график циклического процесса, произведённого над неизвестным количеством \(\nu\) азота. В координатах \((T,\:C)\), где \(C\) — теплоёмкость газа, а \(T\) — температура, график цикла представляет собой четыре отрезка: \(a\to b\), \(e\to f\), \(c\to b\), \(e\to d\) (см. рис). К сожалению, положение начала координат оказалось утраченным. Пояснительные записи указывали, что теплоёмкости \(C_d=1,000~Дж/К\), \(C_a=0,715~Дж/К\), а также что: \(T_c-T_b=2(T_b-T_a)=200~К, и \frac{p_c}{p_a} = \frac{V_c}{V_a}.\)
- Найдите работу газа \(A\) за цикл и КПД цикла \(\eta\).
- Определите значения температуры \(T_a\), \(T_b\) и \(T_c\).
- Нарисуйте график цикла в координатах \((p,V)\) и определите количество вещества \(\nu\). Примечание: Процесс с постоянной теплоёмкостью \(C\) называется политропным и для него справедливо соотношение: \(pV^n={\rm const}\), где \(n\) — постоянная, показатель политропы.
К горизонтальному непроводящему потолку на тонких металлических проволоках длиной \(l=1~м\) на расстоянии \(d=10~см\) друг от друга подвешены два одинаковых стальных шарика радиусом \(r=5~мм\) и массой \(m=4~г\) (см. рис). В начальный момент шарики не заряжены и покоятся. Ускорение свободного падения \(g=9,8~м/с^2\). Электрическая постоянная \(\varepsilon _0=8,85\cdot10^{-12}~Ф/м\).
- К точкам крепления проволок подключают источник напряжения \(U\) с большим внутренним сопротивлением \(R=10^{15}~Ом\). При каком значении \(U=U_{\min}\) шарики столкнутся через некоторое время?
- Найдите время \(t_0\), через которое разность потенциалов между шариками достигнет значения \(U_{\min}\), если \(U=U_0=1,0\cdot 10^6~В\).
В архиве Снеллиуса нашли чертёж оптической схемы, на которой была изображена линза, положение точечного источника света \(S_0\) и его изображения \(S_1\). От времени чернила выцвели, и на схеме осталось видно только положение оптической оси линзы, источника \(S_0\), изображения \(S_1\) и одного из фокусов \(F\) (см. рис). Построением циркулем и линейкой без делений на отдельно выданном Вам листе А4 восстановите возможные положения линзы.
